Définition
Définition d'une suite exacte :
- on se donne une suite de groupes $$\dots\longrightarrow G_{i-1}\overset{f_{i-1} }\longrightarrow G_i\overset{f_i}\longrightarrow G_{i+1}\longrightarrow\dots$$ avec \(i\in I\subset{\Bbb Z},\
I\geqslant3\)
- \)$\forall i,\qquad \ker f_i=\operatorname{Im}{f_{i-1} }$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que la suite est exacte
(
Morphisme de groupe - Homomorphisme (Noyau),
Morphisme de groupe - Homomorphisme (Image))
Suite exacte courteSuite exacte scindée - Section
Propriétés
Avec un morphisme de modules
Proposition :
Soit \(f:M_1\to M_2\)
Alors on a toujours la suite exacte : $${{0\to\ker f\overset L\to M_1\overset f\to\operatorname{Im} f\to0}}$$
Exemple
Exemple :
La suite \(1=\{1\}\to G_1\overset f\to G_2\) est exacte si et seulement si \(f\) est injective
Exemple :
La suite \(G_2\overset f\to G_1\to\{1\}=1\) est exacte si et seulement si \(f\) est surjective
(
Injection,
Surjection)